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| □ 基础数学学科研究方向 □ |
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| 调和分析 |
 陆善镇 杨大春 丁 勇 |
本方向的工作主要集中在两方面。一方面系统地研究了以Calderon-Zygmund奇异积分算子为核心的各类带粗糙核的积分算子有界性问题。建立了粗糙核振荡积分算子有界性的判定准则；粗糙核分数次积分算子及其交换子的加权有界性和弱有界性；多线性算子的有界性；带粗糙核的Littlewood-Paley型算子有界性和加权有界性等等。另一方面的工作是系统地研究了Herz型和Herz型-Hardy空间的结构、特征和分解理论等等。上述工作均得到了国内外同行专家的高度评价,被誉为"方向性的工作"。在国内外被多次引用。
在今后的五年内，本方向将集中研究粗糙算子的弱有界性问题; 与Calderon猜测相关的多线性算子问题;
联系着振荡积分和限制性定理的Kakeya问题; Herz型-Besov和Herz型-Triebel-Lizorkin空间及其加权空间理论;
建立各类空间紧嵌入的商数估计和各类微分算子的特征值问题以及自伴算子的负谱问题等，并期望在上述研究领域获得理论上的突破。
陆善镇, 教授. 曾任北师大数学研究所所长.95-99年担任北师大校长,
于1980-1982年被美国St.Louis华盛顿大学聘为教授。现任国务院学位委员会委员、全国高校数学中心学术委员会委员、中科院数学研究所开放委员会委员及《中国科学》,《科学通报》,《数学学报》,《逼近论及其应用》等刊物编委。至今已撰写专著5部，在国内外刊物上发表论文120多篇，培养了14位博士以及二十几位硕士。他在用二重奇异积分表示二元可积函数、多元Fourier积分和级数球形求和、多元Fourier级数几乎处处收敛、多元Hardy空间逼近、粗糙振荡积分有界性判定准则等问题及Herz型Hardy空间理论等方面工作均得到了国内外著名调和分析专家如：程民德院士、美国G.Weiss、西班牙Rubio
de Francia、日本Igari等教授的高度评价。他创立的新概念和方法所获得的定理已被国内外同行称为"Salem-Lu定理"，其结果已为E.M.Stein,
Y.Meyer, F.Soria等国际著名数学家所引用。曾应邀对美国、日本、西班牙、香港等地多所大学作学术访问及多次应邀在国际学术会议上作大会报告。主持了在日本召开的第二届"国际分析、计算及应用大会"。曾于1988年获国家教委科技进步一等奖,
1989年获国家自然科学四等奖. 1990年获国家有突出贡献中青年专家称号，现为国家973项目的骨干成员。
杨大春, 教授. 主要从事Herz型和Herz型-Hardy空间理论的研究工作。至今已在国内外刊物上发表论文近100篇。曾应邀对美国、日本、香港等地多所大学作学术访问。1999.8在第二届"国际分析、计算及应用协会"会议的调和分析会议上获得"杰出贡献奖"。现受德国洪堡基金资助正在德国Jena大学作学术访问，现为国家自然科学基金重点项目的骨干成员。
丁 勇, 教授. 主要从事带粗糙核积分算子有界性问题的研究工作。至今已在国内外刊物上发表论文近40篇。2000.8-2001.1年应邀担任美国Pittsburgh大学访问教授，并应邀对美国、日本多所大学作学术访问。分别应邀于1999.1和2001.1在日本召开的第一届和第三届"国际奇异积分及其相关论题"会议上作大会报告，现主持一项国家自然科学基金项目。 |
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| 代数表示论 |
| 惠昌常 张英伯 邓邦明 |
北师大数学系代数表示论专业是在老一辈学科带头人刘绍学先生的领导下于1985年起步的，得到了美国，德国，加拿大，日本的世界一流表示论专家的大力支持与帮助，于短短十年内培养了一大批优秀的博士生，目前成为全国多所重点高校的教学科研骨干，其中博导五名,教授九名。形成了一支以北师大为中心的中国自己的研究力量，在国际代数表示论领域占有日渐重要的地位，于2000年在北师大成功地举行了第九届国际代数表示论会议。刘绍学及张英伯教授分别担任大会执行主席和组委会主席，惠昌常和邓邦明应邀作1小时大会报告。北师大惠昌常，张英伯，邓邦明是国内代数表示论界的中坚力量,共发表论文70余篇(含1996年后SCI
25篇)，惠昌常和邓邦明的拟遗传代数研究获1998年国家教育部科技进步奖2等奖，惠昌常获国家教育部跨世纪人才基金。他们曾在以下各方面做过该领内国际领先的工作：q-Schur代数的结构(惠昌常)；拟遗传代数与量子群(邓邦明)；AR-分支的结构及矩阵表示理论(张英伯)。
5年的主要研究目标为：进行关于胞腔代数与拟遗传代数的整体结构和表示理论，
注重它们的整体结构，表示理论以及与相关学科的深层联系和应用。事实上，以上两种代数涵盖了在数学，物理，量子理论中相当广泛的代数类型。探索Auslander提出的表示维数的理论，建立计算方法，攻破这方面的若干难题，其工作有望将成为代数数值刻画的一个突破。继续深入探讨代数理论的热点问题：量子群理论，利用Hall代数得到量子群方面的有关结果。用表示论方法解决李领域中的问题；深化矩阵表示理论,运用该理论证明代数表示论中15年来未能解决的一个猜想：代数的齐次性蕴含着Tame性，这一猜想的证明意味着我们可以用组合手段把握Tame型Artin代数的模范畴，意义深远。
惠昌常教授于1989年3月获德国理学博士学位，博士生导师，发表论文37篇，SCI
收录21篇，论文被引用60余次，证明了q-Schur代数的结构定理，这是有限群代数结构理论中非常整齐漂亮的一个结果，被收入专著并被广泛引用。他还在胞腔代数与拟遗传代数的整体结构和表示理论方面做过一系列系统的工作，得到国际有关专家的重视和好评。获国家教育部跨世纪人才基金，霍英东青年教师基金，国家自然科学重点基金等多项基金。
张英伯教授于1990年获德国理学博士学位，博士生导师，发表论文25篇，SCI
收录18篇，证明了稳定AR-分支的结构定理，彻底解决了稳定AR箭图的组合结构，被国际同行称为Zhang定理，收入专著并被广泛引用。近年来在线性矩阵的表示理论，特别是这一理论与Artin代数范畴的联系和应用方面做过一系列深入的工作。
邓邦明教授于1993年获瑞士苏黎世大学理学博士学位，并获德国洪堡基金。发表论文20余篇，近五年SCI
收录8篇，给出过一类Tame型代数模范畴的完整刻画，完满地解决了著名的 Gelfand 问题，并在拟遗传代数，Hall代数与量子群等方面做出了一系列重要成果。是一位功底深厚，思维敏锐，很有前途的青年数学家。
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| 函数逼近论 |
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刘永平 房艮孙 王昆扬 |
所做的工作包括：得到了d维欧氏空间定义的Sobolev类和Besov类上的平均宽度和最优恢复的精确到阶的估计；得到了实直线上定义的Sobolev以及Sobolev-Wiener类上的平均宽度和最优恢复的精确常数；建立了实直线上指数型整函数和多项式基样条极限关系的极限定理；证明了基样条的Bernstein-Markov、Nikolski、Marcinkiewiey-Zygmund不等式；建立Shannon-Kotelnikov-Whittaker样本定理以及一些逼近结果；得到了各向异性Sobolev类、Besov类等光滑函数类的算子核的Fredholm算子方程的适应解法的优化问题的弱渐近最优算法和最优误差估计；球面上Cecaro平均的收敛；球面上函数逼近的定理；球面调和分析和逼近理论的研究和地球物理研究相结合，对解决地震学问题，取得了很好的成绩。
今后五年拟研究的重点问题：低维子流形上函数空间函数的展开以及各种积分算子等调和分析问题、一些基本光滑函数类的宽度问题以及一些经典函数空间的逼近性能（包括精确到阶的估计）；小波分析方法及一些非线性方法用于逼近论中极值问题；一些多元基本函数类及其中函数为核的积分方程类自相适应直接方法的优化和误差估计问题；平均框架下的逼近论中优化问题及相应问题的信息复杂性。在这几个方面均可取得一定进展。
刘永平，教授。曾赴美国访问一年。研究多元函数逼近问题，主要研究欧几里德空间及其低维子流形上函数的构造、插值逼近、非线性逼近、多项式与样条逼近、径向函数逼近、平移不变子空间逼近，以及函数类上最佳逼近、宽度、最优恢复等优化问题，以寻求最佳算法、最佳逼近方法和最佳逼近工具。其研究包括了一些经典问题从一元到多元以及到低维子流形的推广和深化，其中有些问题难度很大。是当今数学发展的重要方向之一，多次承担国家自然科学基金项目。
房艮孙，教授。研究某些优化问题在一致及平均框架下的信息基复杂性。主要研究一些基本的函数类用整函数,
样条, 小波的逼近特征及它们在某些空间中的信息半径，宽度估计及和这些问题的相关的问题，并进一步研究在平均框架下逼近论中一些优化问题及相应问题的信息复杂性。信息复杂度研究的对象为无穷维的非线性问题，其中一些基本量的估计属于逼近论中深层次的理论问题，有相当难度。是多学科的交叉点，除需运用传统的逼近论的思想和方法外，还需充分吸收概率论，泛函分析，数值分析，数理方程，科学计算等多个分支的思想和方法。它拓广了传统的逼近论所研究的领域，是数学研究领域的一个活跃的重要研究方向，现主持一项国家自然科学基金项目。
王昆扬，教授。研究流形上的调和分析与逼近，主要研究欧几里德空间中的低维流形上的函数空间、函数关于一定的基底的展开、函数空间上的各种积分算子等调和分析的问题。同时研究这些流形上的函数的构造性质，函数的多项式逼近、样条逼近、插值逼近，以及函数类的宽度等逼近论的问题。流形上的研究是全空间上理论的推广和深化，难度大，很多问题都有待解决，是当今理论发展的重要方向。
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| 动力系统与微分方程 |
| 袁荣 郇中丹 黄海洋 |
袁荣教授研究混杂动力系统的定性行为, 发现了混杂系统本身具有的一个新特性;
发展了概周期序列理论, 首先用于研究概周期动力行为; 对中立型微分方程, 克服了$D$算子所带来的困难; 发展了Liapunov函数方法;
发现了一类微分方程, 它具有类似保守系统的动力行为.
郇中丹教授研究偏微分方程的粘性解理论。特别着重于退化方程定解问题中与边界可去与否有关的问题以及与应用模型的适定性讨论。退化抛物型方程的非粘性解方法。对可去边界的刻画及结果的应用已经有了一系列结果。
黄海洋教授研究发展方程(组)的无穷维非线性动力系统研究.
讨论一些经典的数学物理方程解的适定性和渐近性质, 分析方程所刻画的物理过程的动力学行为; 确定性生物结构种群模型的构造和分析.
应用由几何特征构造的退化的抛物双曲方程的数值模拟进行图像处理和恢复.
保继光副教授研究研究与微分几何中问题紧密相关的一些非线性PDE;
以及一类对称的和极小的子流形的Bernstein定理. 赵丽琴副教授研究平面多角环环性与Hilbert第16问题的研究,解决了平面余维3的初等多角环的环性问题以及复域中的定性理论.
杨淳副教授研究偏微分方程数值方法和数值计算, 以流体力学, 弹性力学基本方程的差分及有限元法为主. 主要课题是血管和血液流动的数值模拟,
以应用于临床诊断为目标.
该方向近五年将在混杂动力系统，有时滞的微分方程，非粘性解方法，应用模型的适定性，确定性生物结构种群模型的构造和分析，微分几何中一些非线性PDE，多角环的环性问题，等方面进行研究，取得具有自己特色的创造性的成果，形成一个在全国有影响的研究集体，达到国内领先水平。
袁荣, 博士生导师, 1998年至1999年在德国科隆大学客作研究员.
作为主持人和主要参加人承担国家自然科学基金重点项目, 国家教育部高等学校骨干教师资助计划等5个项目. 发表论文38篇,
其中SCI检索杂志15篇, EI检索杂志7篇,国外杂志16篇, 国内一级刊物15篇.
郇中丹, 教授, 1982年至今在北京师范大学数学系任教，其间1984年至1991年在美国学习，于1989年获University
of Wisconsin-Madison的博士学位。
黄海洋, 教授, 1993年在北师大获博士学位. 1989-1990在意大利Trento大学进修，
1996-1997曾到荷兰Utrecht大学访问, 发表20篇学术论文. 作为主持人和主要参加者参加国家自然科学基金等4个研究课题,
现任《数学的实践与认识》和《生物数学学报》杂志的编委。 |
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| 微分几何与微分拓扑 |
| 戎小春 高红铸 王幼宁 |
主要内容:在黎曼几何方面，戎小春得到了关于正夹曲率流形M的如下结果：
(1)∣π1（M）∣≤w（n，c），或者π1（M）包含某一指标不大于w（n）的循环子群。
(2) 在上述正夹曲率流形M 的Gromov-Hausdorff闭包中，所有空间X的维数不小于（n-1）/2，更一般地，若M与某一具有极小维数的空间X充分接近，则M的某一有限覆盖为透镜空间。
(3)若M是一个2-连通的正夹曲率流形，则它的单射半径不小于i（n，c）。特别的，只有有限多个这类流形的的微分同胚型。其中(3)提供了2-连通的正夹曲率流形Klingenberg-Sakai猜想的一个强形式，这是近年来黎曼几何中最重大的进展之一。在微分拓扑方面，在一定条件下，高红铸证明了反全纯对合的商空间上不存在复结构。解决了一类近正定四维流形的正自相交类的嵌入球表示问题，以及与之相关的法欧拉类取值问题。在微分几何方面，王幼宁引入了平均绝对测地曲率描述曲线的平均弯曲。证明了空间型中极小曲面的区域稳定性等定理。在今后的工作中我们在正曲率流形方面，群作用，四维流形中的极小亏格问题，复叠空间与规范场论，球面曲线等有望取得突破。
利用收敛性理论研究体积充分小的流形的几何与拓扑性质是80年代后产生的一个新兴方向，被人称为Gromov几何。这一方向的特点是融合了分析、几何与拓扑等多个近代数学分支，它在诸如正曲率流形等的研究中显示了强大的威力，戎小春教授在有关方面作了很多奠基性的工作，是这一领域的国际学术带头人。目前这一方向在国内其他学校几乎是空白。自戎小春教授任我系的长江学者特聘教授以来，我们计划用三年左右的时间培养出一批掌握有关方法和工具的新人，在五年或稍长一点的时间内使之成长为可与世界一流学者对话的青年学术骨干，使北师大数学系在Gromov几何方面成为全国领先，并具有世界水平的研究基地。目前首批研究生将于一年后毕业。
主要学术带头人简介：
戎小春,教授。1984年于北京师范学院获硕士学位，1989年于纽约大学石溪分校获士学位，师从著名几何学家J.Cheeger教授。1989至1992在芝加哥大学工作，1993年任Rutgers大学数学系教授，1999年受聘北京师范大学长江学者特聘教授。
高红铸，教授。1988年、1991年于中国科学院系统学所分别获得硕士、博士学位，导师李邦河研究员。1991年7月至1992年12月在中国科学院研究生院做博士后，1992年12月出站后到北京师范大学工作至今。1993年6月至1999年6月任副教授，1999年7月任教授。1996年7月至1997年6月赴美国Brandies访问。
王幼宁，副教授。1988年于复旦大学获硕士学位，导师胡和生院士、忻元龙教授。1988年8月至1992年9月在北京商学院任教，1992年9月到北京师范大学任教至今。1996年7月任副教授。 |
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