傅种孙于1898年2月27日出生在江西高安.高小毕业后进入南昌省立二中.他特别喜欢几何,当时就写过一篇关于轨迹的论文.1916年从宜春省立八中毕业.考入北京高等师范学校(即北京师范大学前身)数理部.
1917年北高师成立数理学会,次年春又创办《数理杂志》(这是我国最早的数理性杂志).他是学会的第二届副会长,第三届正会长.并任《数理杂志》编辑至1921年.他在此杂志中发表过十几篇文章.
傅种孙对我国数学史与我国古算也很有兴趣.其所作"大衍(求一术)"是我国用现代数学观点研究中国古算最早的论文.他所译O.Veblen的《几何学基础》是在我国发表的第一篇几何基础译文.1920年英国哲学家B.Russell来华,次年3月在北京大学讲新兴的数理逻辑.傅种孙事先给R的《数学哲学引论》写了一篇摘要"罗素算理哲学入门"刊于《数理杂志》,后来又与张邦铭将其全书译为中文,书名《罗素算理哲学》(商务印书馆,1922).(据赵慈庚先生说,张为英语系毕业,只在哲学名词方面协助傅先生译书).此书为我国第一部介绍数理哲学的书.
傅种孙从北高师毕业后留在师大附中任教,第二年调回数理部并破格升为讲师,仍在附中兼课.同时又考入本校数学研究科,1923年毕业.由于北洋政府长期欠薪,傅先生不得已于1926年回南昌省立二中任教.1928年冬,北师大领导采纳意见,请他重返母校.又经物理系教授张贻惠推荐,被聘为教授.在他的指导下,北师大数学学会又发行《数学季刊》.这是我国高校最早的数学期刊.他在发刊词中有一段话说:"国家之设师范大学,非仅造师资而已.亦曰集有志学术与教育者于一堂,使远瞻学术之流波,近察社会之实况,研究众说,各出心裁;上议国家制度供司铎之采择,下论教育方针,备执教之参考."
1922年,北师大附中试办三三制初中.领导数学课程改革实验的是程廷熙先生.谋士则为傅先生.程与傅合编一套《初级混合数学》,共6册.
傅种孙于1929年联合师大附中教员集资创办"师大附中算学丛刻社",影印一些流行的大学及高中英语数学教材(因英文原版书太贵).同时,他又用丛刻社的盈利聘请专家编写初中及高中数学课本,他自己任总编辑,每本书都亲自审查.到1935年,除高中代数外已全部出版.他自著的《高中平面几何》即其中之一.此书于1933年初版,至1937年共印四版,风行全国.用此书的教师都认为有事半功倍之效.1982年,由赵慈庚先生领导的小组(有王树茗等中学名师)将其译为白话文《平面几何教本》.
傅种孙从毕业生来信中看到他们不能用高等数学观点指导初等数学,就从1928年开始在数学系三年级开设《初等数学研究》课程来补救这一缺点.他最初设想此课的内容过多,难以实现,后改为只讲《平面几何研究》.其初稿内容有:总论,基础,证题,作图,轨迹,极大极小,极限.后因抗日战争期间无印刷条件,使此书未能出版.到2001年才由北京师范大学出版社正式出版,并正名为《几何基础研究》.
从1933年起,北平师范大学每年暑假举办中学数学教师"暑期讲习会".抗日战争期间,陕西省和西北师范学院继续举办.每次都由傅种孙作主要讲课人.历年所讲很少重复,到1942年已积累讲稿32篇.内容都是一般教师易于忽略的问题,也都是他自己的读书心得,在一般书中见不到,所以十分珍贵!
到1936年末,傅种孙的教授年资达到了按教育部规定可以休假一年,他决定去德国留学.但不久抗日战争爆发,未能成行.1937年10月下旬,他只身去到西安临时大学.从沦陷区到后方,必须穿过敌军封锁线,行路极为困难!教授们几乎无人带书过去.但傅种孙不惜运费,不怕风险,带了几百本外文书.因而他在西北联合大学的卧室成为数学系的书库.
在傅先生的《初等数学研究》讲义中,他写入了当时平面几何中未解决的Malfatti问题,其解答并曾于1936年在中国数学会的年会上宣读.在抗日战争时期,傅先生完成了多篇论文.但因故只发表了两篇.一篇是"循环排列问题",用英文名"A problem on non-sensed circular permutations"发表于《武汉大学理科季刊》1942年第1期.他顺便指出:Fine在其《College Algebra》中之答案错误.他所得的结果,被不少讲"组合论" 的专书引用.例如:在屠规彰著《组合计数方法及其应用》(科学出版社,1981),邵嘉裕著《组合数学》(同济大学出版社,1991)及柯召与魏万迪合著《组合数学》(科学出版社,1981)都有引用.有的称为"傅种孙定理",有的称为"傅种孙公式".在郝柏林著《Elementary Symbolic Dynamics and Chaos in Dissipative Systems》(World Scientific,Singapore,1989)中,有关于傅先生以上结果的推广形式的应用.另一篇是"On Frobenius Theorem",于二战后1945年访问英国时发表在《Quarterly Journal of Mathematics》(1946)中.此文推广了群论中F的一个重要定理,并改进了一些群论书中的有关论述.傅先生还亲自告诉笔者,他还有几篇群论论文在逃难时丢失了.
以下简单地按先后顺续介绍傅先生其它论文和讲稿(这些讲稿也不是书中所有的,因而应是数学教育论文)的内容:
(1) 在"大衍(求一术)"[见《傅种孙数学教育文选》(人民教育出版社,2005).以下所引傅先生诸文也都见此书.]中,用现代数学观点解释了我国古代的"大衍术"及"求一术"(二者名异而实同).我国数学史名家李俨先生曾不无谦虚地说过,他是"因看了此文才决心要把中国数学史整理出来."
(2) 在"关于数论之定理"中,根据数论中的Fermat小定理与Euler定理证明了两个有用的推论.
(3) 在"循环小数之方乘与方根"中,证明了例如:(ⅰ)纯循环小数及其平方(仍为循环小数)二者循环节之间的联系.(ⅱ)混循环小数及其平方(仍为混循环小数)二者循环节之间的联系.(ⅲ)循环小数开平方的一种简便方法.(ⅳ)纯循环小数及其立方(仍为纯循环小数)二者循环节之间的联系.(ⅴ)循环小数开立方的一种简便方法.(ⅵ)循环小数与其更高次方幂及方根间的联系.
(4) 傅先生的"几何学之近世观"是他在师大附中讲几何课时的开篇,由于我认为特别重要,所以摘录如下:
(ⅰ)......几何学以公理为前题,推出的定理为断案.公理之真伪,难以实验辨,难以归纳判,吾人限于智力,本应存疑.然先哲既认几何公理为不容疑之真理,孶孶焉推衍演绎,蔚然成为美满之学科,征之乎吾人所居之空间,用之于物体所具之形态,又皆吻合无遗,(就人类智力范围所及而言,)后贤心动,方踵事增华之不暇,安肯存疑割爱,防其发达?是故立公理为设理(assumption)或曰约言(convension)以为全部几何之基础.所谓设理者,假设其真确之理也,所谓约言者,治斯学者互相要约而承认之之言也.基础既立,然后从事演绎,置公理之真伪于不问,定理之确否于不言,而仅研究此理生何果,彼理由何因. 故曰,几何者,一纯乎论理之演绎推测式也. 几何之公理不一而足,定理尤属多不胜数,是其前提断案视平常演绎推测式为多也.且其中定理莫非他理之果,亦莫不可作别理之因,错综繁衍,较之平常推测式庞乎大矣. 故曰,几何者,纯乎论理之一大盘演绎推测式也.***推测式因前提而不同,几何亦因公理而异.选此群公理成一几何.别选一群公理又成一几何.公理之选择无限量,而几何之门类遂不可胜数矣.中等学校所授之几何,系几何之一种,名曰欧几里得几何(Euclid's geometry).
(ⅱ)几何重理由,言必有所本.每见一定理,必追求其所本之前提,而此所本之前提又必有其所本而后可.如此追求,胡可穷极?故必定一命题,或一群命题,不求证明,以为一切定理之基础,而不再根究其理由.是为公理,即不证明之命题(unproved proposition)也.
几何重明显固定,绝不许有模棱两可之词存乎其间,故正名尚焉.每迂一名词,必问"作何解?"而此解之之名词,又必有解而后可.如此递推,终必有未解之名存于定义之中.故必定一名词,或一群名词,不加定义,以为解释一切名词之本源.是为原名.即不定义之名词及关系(undefined elements and relations)也.
原名之选择,要点有三:第一,须分之各个含意异常明显单纯;第二,须合之恰足以解释本科中一切名词;第三,须相互独立,不能互相解释.欲三者兼顾颇非易事.
公理之选择亦然:第一,须分之各个含理异常明显单纯;第二,须合之恰足以证明本科中一切定理;第三,须相互独立,不能互相证明.欲三者兼筹并顾,亦煞费研究也.
此外犹有更重要更艰难者,则是否相和谐而不相冲突是也.公理之是否和谐,应视以后推出之定理有无矛盾以为断.然几何定理之推衍无有穷极,今兹所得各定理从不矛盾,安知以后永无矛盾定理之发生耶?治几何基础者于此技穷,只得以他种几何或代数证此种几何公理之和谐,试问此种倚为根据之几何或代数,又何所恃而知其公理之和谐基础之稳固耶?人类智力于此遂不得不宣告"无法".(摘录完)
在20世纪20年代前后,我国的数学水平还相当落后.那时数学界出国留学的重要学者有不少位还没有回国.国内大学生们对现代数学的认识很少.{举一个例子:在京师大学堂(即北京大学前身)1909年年假前的一份数学考卷中,全部四道考题(都是文字题)只用加,减,乘,除就能解答[见郝平著<北京大学创办史实考源>(北京大学出版社,1998)第230页]}.这时,傅先生从深远的考虑出发,在1920年前后就已充分注意到当时国外很先进的在数理哲学,数理逻辑,几何基础等方面的研究,并向国内作了很多介绍.这不但在当时,就是在当代也应算是很先进的贡献.
傅先生在作这些介绍和研究工作时,并不是单纯地考虑数学本身,而是为了更好更多的培养我国现代化建设所需要的高素质知识分子.因而他还在大学教学之外,又把这些先进的数学精神渗透到他在北师大附中的教学和教材建设中,为国家培养了不少优秀人才.钱学森先生曾在近年回忆他在师大附中上学时听傅先生讲课的深刻印象.他说:"听傅老师讲几何课,使我第一次懂得了什么是严谨科学."[见祁淑英,魏根发合著《钱学森》(花山文艺出版社,1997)第15页]还有不少位数学家也在他们的传记或论述中谈到在学生时代所受傅先生的教育或影响.
以下,我想再较多谈谈傅先生对我国数学界的贡献:
(1)傅先生首先是对数理哲学和数理逻辑作了率先引进.1920-1921年,著名的英国哲学及数理哲学家B.Russell来华讲学.他也是数理逻辑的早期发展的集大成者.他在华所讲以纯哲学问题为主,只简单地介绍了数理逻辑(他是怕无人能懂).傅先生那时刚大学毕业,就翻译出版了Russell的《Introduction to Mathematical Philosophy》,译名《罗素算理哲学》(商务印书馆,1922)(翻译中由学外语的张邦铭先生给予英文哲学名词方面的协助,故用二人名义出版.)在译本中傅先生还作了不少注解.在此之前,傅先生发表了简介此书的文章.文中首先告诉读者Russell的最主要著作是Russell与A.N.Whitehead合著的三大本《Principia Mathematica》.然后简要地介绍了前一书的内容,并着重谈到研究数理哲学的重要意义.他说:"算学家......视为不成问题的问题,看了这本书,就知道那些界说及讨论外似简单而内实复杂."这种重视数学基础的观点,从后来数学基础及数理逻辑研究的新发展来看,不但显示出其正确性,并且至今还是需要引起数学界更多重视的十分先进的观点.例如在近40多年来,不少数学家们发现,有越来越多的数学难题可以借助于数理逻辑方法来解决,或是由数理逻辑的研究提供加用新公理的思路.[注:对于这类数学问题,笔者曾在《独立于ZFC的数学问题》(与杨守廉合著,北京师范大学出版社,1992),《数理逻辑与范畴论应用》(与孟晓青合著,北京师范大学出版社,1999),《傅种孙与现代数学》(北京师范大学出版社,2001)及其它文章中作过具体的举例介绍.]
(2)此外,傅先生还在1920年发表的论文"什么是数学"中评论当时国际上一些有关数学定义的各种说法,并以推崇的口吻介绍了Russell的如下说法:"数学是一门科学,里面讨论的对象没有指定,到底说什么是真也不知道."(注:Russell原话为:"Mathematics is the science in which we never know what we are talking about, nor whether what we say is true.").这在当时似乎是一种使人们或能会意或感茫然的相当超前的说法.对此语,傅先生在上文中说:"这个定义看起来似乎怪诞,其实意义很深远很宏大,确实可以代表近世数学的精义."傅先生所说的"精义",正是指近代数学的公理化,抽象化这一重大特征.后来,傅先生又在其专著《几何基础研究》中,结合着对公理方法的详尽讲解,引述了R的这一说法.傅先生在此书中也形象地说,对公理化数学,在学习时要"尽弃所学而学焉".这是为了使初学者避免把公理的推论与公理事例的特有性质混淆起来.
(3)傅先生对我国数学界的另一重大贡献,是对于几何基础的引进和研究.以及对公理化方法的系统而详细的介绍.他在这方面最重要的工作是他的专著《几何基础研究》.这是傅先生在翻译了O.Veblen的长篇论文和翻译出版了Hilbert的《几何原理》之后,又经过深入而系统的独立研究之后,从1926年起结合历年讲"几何基础"课,整理自己的观点和成果写出的专著.
(4)傅先生除了上述的贡献外,还倾注了大量精力把这些理论和成果的主要精神贯彻到高师和中学的数学教学和改革事业之中,作了很多教学实践和教材改革工作,为国家培养了大批优秀人才.例如,在他1933年所著的《高中平面几何》中,贯穿着严密的公理法精神,讲解透彻而细致.使学习者不但能对平面几何有更好的理解和掌握,并且能对进一步学习现代数学做好思想方法上的准备.据说此书当时风行全国,大受欢迎!江泽涵先生也对之多次称赞.解放后,此书又被译为白话文出版,仍然很受欢迎.直到近年来,王树茗先生,杨之先生等还著文推崇此书.
傅先生从20世纪30年代到50年代,为培养高师和中学教师作了大量工作.他针对教师们在教学中感到难讲或易于忽略的很多问题和要点,给予精辟的讲解和学习及教学方法上的指导.在《傅种孙数学教育文选》(人民教育出版社,2005)中,收集了他的不少讲稿(其中有些已在解放后发表),这些讲稿也都渗透着公理方法和严密逻辑的精神和高等数学观点.
(5)关于对傅先生数学教育思想的深入探讨,是一重大课题.因为教育事业除了涉及学科之外,更涉及对社会需求,人文环境等因素.所以比纯数学研究更复杂.在这方面已有不少学者发表专文作了有关的阐述,读者可以参看.例如,在近年的《数学通报》中,先后有傅章秀,赵慈庚,王树茗,孙永生,严士健,袁兆鼎诸先生的专文.在《中学数学教学参考》(2000年第8-9期)中有杨之先生的专文.在《我与北师大》(刘锡庆主编,北京师范大学出版社,2002)中,有王树人先生的专文和多位先生的文章.又如,在《中国中学数学教育史》(魏庚人主编,人民教育出版社,1987)和《中国现代数学史略》(张奠宙著,广西教育出版社,1993)以及后人为傅先生作的一些传记和纪念文章中,也多有论述.
(6)在1998年北师大为纪念傅先生百年诞辰的座谈会上,主持人刘绍学教授在致词中曾举国际著名的数学家兼数学教育家F.K和G.P与傅先生作了恰当的对照,然后他说:"中国的傅种孙,德国的Klein,美国的Polya,都同样得到我们的敬仰和热爱!"笔者完全同意他的这一对照,并希望我国有更多傅种孙式的人物出现!
