摘要 数理逻辑与代数学者.1927年生于河北石家庄;1948年任北京师范大学实习讲师，后陆续升为讲师,副教授,教授.1981年被评为博士导师.曾兼任《数学通报》,《中国科学》,《科学通报》,《数学进展》及《北京师范大学学报(自然科学版)》编委.研究领域为数理逻辑及代数.先后出版了《非标准分析》(A.Robinson原著,多人合译),《模型论基础》,《独立于ZFC的数学问题》(与杨守廉合著),《数理逻辑与范畴论应用》(与孟晓青合著),《傅种孙与现代数学》(编著)及数理逻辑,代数方面论文多篇.
我在1927年3月30日出生于河北省石家庄市.父亲为中国银行职员,母亲为家庭妇女.我4岁时,父母教我认字和给祖父母些信.父亲常给我讲三国,水浒中的故事.由于父亲历次被调往(河北省的)定县,清风店,辛集去开设中行办事处,母亲与我也跟随前往,所以我到9岁才在辛集上小学,插班到四年级.1937年抗日战争爆发,我随父母向南逃难.不久父亲被调回天津(因石家庄中行支行归天津分行管辖,到南方中行只算是临时作客).我于1938年初在天津插班进入旅津(因校长为广东人)广东小学五年级,到1939年夏毕业并考入新学中学.1939年春,父亲被调往甘肃省武威县开设中行办事处.父亲因听说甘肃教育比较落后,所以让母亲陪我留津上学.但1939年夏天津发大水,长时不退,学校无法开学.因而母亲决定也带我去甘肃(与中行另一批内调人员同行).我们于1940年初到达武威.(当时因从敌站区到国统区,要绕道香港,越南才进入云南省,又无铁路及长途汽车,所以走了很久).我于1940年春插班进入甘肃省立武威中学,1942年夏初中毕业.去酒泉县考入管理中英庚款董事会所办的河西中学高中部.于1942年夏读完高二后,跳班去兰州考入西北师范学院(即北师大于抗战期间西迁者).1945年抗战胜利,我随西师院大部分师生于1946年夏迁回北京,入北师大三年级.于1948年下毕业留校做实习讲师，1949年任讲师,1956年任副教授,1979年任正教授,1981年被评为博士导师.1985年加入中国共产党. 我的父母都早逝.我曾作诗怀念:(a)藏头诗:王家我父名经春,经常练(太极)拳颇健身!不知何故患癌症?春际归去令我晕!(1958年春病逝,享年60岁).(b)藏身诗:耿家月秋是我母,明月在天嫦娥舞!撒手人寰因思我(注)!想起母爱令我哭!(注：1948年底,因解放军包围北京,母亲在甘肃恐我被战争伤害,心脏病发作而去世!享年49岁).
我的主要数学工作如下所述.
1.格论.在20世纪50年代,我除了发表一篇数理逻辑论文,简化了D.Hilbert的命题演算公理系统[由5条公理简化为3条.受到王浩在《Math. Reviews》(1957)中的好评.]之外,主要是在格论方面解决了G.Birkhoff的《Lattice Theory》第2版(1948)中的几个问题.其中以《关于合同关系的可换性》一文(它解决了上书中的问题31及另一问题)[数学学报,1953,3(2)]最受重视.曾被L.Fuchs的《Partially Ordered Algebraic Systems》俄译版(1965),G.Graezer的《General Lattice Theory》(1978)及《Universal Algebra》第2版(1979)列为参考文献.在《Lattice Theory》第3版中,则把上文的部分内容列为"注明原证明人"的习题.
2.1956年,我曾与罗里波合写了《有限结合系与有限群》[数学进展,1957,3(2)]这是对半群的较早研究.后因反右运动而停止.后来,从兰州大学研究半群的专家郭聿琪教授处得知,日本学者在我们此文基础上又作了许多工作. 而我们又不易找到日文杂志,所以后来就不在这方面作研究了.
3.在“文化大革命”中,我受到一些批判.然后去山西临汾干校劳动3年.回校后,我被派到北京市优选法推广小组工作两年.后来回系参加计算机小组仿制长城203式台式计算器.图纸是从中科院数学所买来,但无其微程序说明书,只有其穿线表.我用两个月时间破译了其全部微程序,从而获得改造它的自由.我们对计算器作了一些改进,然后去北京分析仪器厂帮他们在其所造空气污染监测车上装我们的计算器计算数据.然后把车开到西单等处监测空气污染情况.这在当时是一新生事物.(获全国科学大会奖,我小组为得奖单位之一).
4.1977年初,上级号召要恢复基础理论研究并恢复大学招生.我小组回校.之后,我开始读C.C.Chang 与H.J.Keisler所著《Model Theory》,很感兴趣(此前,我已在N.Jacobson所著《Lectures on Modern Algebra》第3卷及其《Basic Algebra》下册见到所介绍模型论对代数应用的简单例子,感到有趣).后来我就开始在这方面作研究并于1979年招研究生.到2001年左右,我在模型论及其对代数和数论的应用方面发表论文多篇,例如证明了:域上行列有限无限方阵的逆方阵存在的充要条件及其可对角化的充要条件等.又在对数论应用方面证明了Goldbach猜想对Peano公理组的条件独立性,孪生素数猜想对Peano公理组的条件独立性等.并与我小组先后获国家教委科学进步奖一等奖,三等奖.并多次获国家基金委和国家教委的基金.另外,我先后出版了《非标准分析》(A.Robinson原著,多人合译,科学出版社,1980),《模型论基础》(科学出版社,1987),《独立于ZFC的数学问题》(与杨守廉合著,北京师范大学出版社,1992),《数理逻辑与范畴论应用》(与孟晓青合著,北京师范大学出版社,1999),《傅种孙与现代数学》(编著,北京师范大学出版社,2001),《代数与数理逻辑——王世强文集》(李仲来主编,北京师范大学出版社,2005). 我早期的工作,是纯代数及纯数理逻辑性的研究.到后期(1982-2006)则主要是用数理逻辑与代数相结合的方法研究代数问题.一方面解决代数或数论问题;另一方面则是要向数学界宣传我的观点:数理逻辑对研究数学问题是不可缺少的重要工具![这主要是因为多数数学家都认为他们的数学思维已经很严密,因而不需要学习数理逻辑.].不但我的研究是如此,我还与杨守廉合著《独立于ZFC的数学问题》,与孟晓青合著《数理逻辑与范畴论应用》,自己编著《傅种孙与现代数学》来介绍国外很多用数理逻辑方法帮助解决数学难题的例子.
以下简介几篇论文的内容:
(1)在"命题演算的一系公理"中,我证明了在Goetlind的公理组中,有1条可以从另外3条推出,从而把Hilbert的命题演算公理组从5条减少为3条公理(但不都是Hilbert原有的公理). 并且用3种多值值表证明了这3条互相独立(即:不能互相推出),所以这3条不能再减少.简况如下:在D.Hilbert与W.Ackermann合著的《Grundzuege der theoretischen Logik》(1928)中,他们用一个代表"非"的形式符号(以下用"-"表示)和一个代表"或"的形式符号(以下用"v"表示)作为基本符号,给出了一种命题演算的公理组(含有5条公理).1947年,E.Goetlind在一篇论文[见Norsk Mat. Tidsskr.,1947,(29) 1-4.]中,把他们的公理组简化为下列4条:(a) -(pvp)vp (b) -[-pvp]vq (c) (-p)vp (d) -[-pvr]v[-(qvp)v(rvq)].(这4条不是H等公理组的子集.)Goetlind猜测其中的(c)可能由另外3条推出,但未能证明.我在本文中就是证明了此事.另外,本文中还附述了对G.Birkhoff所著《Lattice Theory》第2版(1948)中问题64的一种解答,但未附证明,以免喧宾夺主.到2005年出文集时,才附了证明.(注:我未见过Goetlind的原文,并且也不懂瑞典文.我是由美国的评论性杂志《Math.Reviews》,1948,9:1对此文的简介中得知此事的.另外,我因未见过Goetlind的原文,所以我最初用的基本符号与Goetlind所用的不同.是汤璪真老师提醒我要注意我所用的基本符号与Goetlind的是否相同.后来我想:既然Goetlind是简化Hilbert等的公理组,应该就是用Hilbert等的基本符号.后来在发表时,又采纳了审查人胡世华教授在表达方式上的建议.此文发表后,受到王浩先生在MR中的好评.对于B所提的问题,他还又举出公理集合论中一个类似的例.)
(2)在"关于合同关系的可换性"中,我解决了G.Birkhoff在其《Lattice Theory》第2版(1948)中的问题31,证明了:(a)在任一相对可补格上,任二合同关系都是可换的.(b)在一个有限拟群上,任二合同关系都是可换的.(c)存在很多圈,在它上面具有不可换的合同关系.(此文中的主要技巧比较复杂,不易在此介绍.但曾在1955年,前苏联数学家A.I.Malcev访华时,受到他的当面赞赏. 我不懂俄文,是由留苏的刘绍学同志作翻译.)
(3)在"实向量所成的有序环"中,解决了G.Birkhoff的《Lattice Theory》第2版中的问题103.证明了全体实向量在此书中所定义的有序交换群上可以定义乘法使成为有序环.并给出了几种类型的乘法定义. (其内容也比较复杂,不易在此介绍) .
(4)在罗里波与我合写的"有限结合系与有限群"中, 证明了:(a)设S为一n(>2)元结合系,不含n-1元子系,只含一个幂等元.则S为群.(b)设S为一L系(其定义见本文),只含一个幂等元,则除去一个元数为2的特例之外,S为群.(c)设S为一奇数元L系,则S为群.(注：我们本想继续往下写多篇。但因反右运动被迫停止。以后又有“三面红旗”，“文化大革命”，到1972年我从干校回来，又被派去宣传优选法，仿制计算器.直到1977年大学恢复招生，我与罗里波才可能再搞科研.这时我们从兰州大学研究半群的专家郭聿琪先生处得知，日本学者在我们此文基础上，已经大有发展.而我们又难以找到日文杂志.所以我们就不在这方面作研究了.)
(5)在"关于格值模型论的一些研究"中,证明了与2值模型论完全类似的超积基本定理,紧致性定理和省略型定理.（格值模型论是我提出的概念.我因研究过格论,又因数理逻辑中有多值逻辑.因而想到研究格值模型论.其目的是研究与2值模型论类似的问题，并希望有所应用.它与已有的知道逻辑有类似之处，但后者尚未见在模型论方面的研究.）
(6)在"一类具有Goldbach性质的可换环"中,我用数论与模型论相结合的方法证明了:对于每个二次代数整数环,都存在(很多)具有Goldbach性质的可换扩环.(此处Goldbach性质是指:对环中的每个非0非单位的元a,都存在两个不可约元p,q能使2a=p+q) .所谓数论与模型论方法相结合,就是先在整数环中找出无限多个剩余类环,它们都适合Goldbach性质.然后对它们引用模型论中的"紧致性定理",就可得出一个整数环的扩环,它具有Goldbach性质.)
(7)在"2次数环的不具有Goldbach性质的扩环"中,我与武涛合作用数论与模型论相结合的方法证明了:对于每个2次代数整数环,都存在(很多)不具有Goldbach性质的可换扩环.( 其思路与上文类似.)
(8)在“一些3次数环的具有及不具有G性质的扩环”中，我用数论与模型论相结合的方法证明了：(a)存在很多3次代数整数环，它们具有适合Goldbach性质的可换扩环。(b)也存在很多3次代数整数环，它们具有不适合Goldbach性质的可换扩环.（后来，王世琪，别荣芳与我又对4，5，6次代数整数环作了类似的研究.发表了一些论文.其思路都与2次数环的情况类似,只是计算量更大.）
(9)在“一种Goldbach可换环的数论性质”中，我用代数与模型论相结合的方法证明了：整数环有一类适合Goldbach性质的可换扩环，它们具有：(a)一种弱形式的Dirichlet定理。(b)一种形式的Fermat大定理。(c)三平方和定理。即：此种环中每个元都能表示为3个元素的平方和。
(10)在"归纳的环和域"中,我把有些适合归纳法的环和域称为归纳的.然后我用代数与模型论相结合的方法证明了:(a)若R是一个非结合或非交换的环,则R不是归纳环.(b)若R是一个特征数不为0且有单位元的环,则R是归纳的当且只当R同构于整数环的一个剩余类环.(c)每个特征数为0的代数闭域都是归纳的.(d)设J为由一切代数整数所组成的环,则J的每个含有1的子环都不是归纳的.(e)若F为一域而R为F上的多项式环或形式幂级数环(其不相关不定元的个数都任意),则R不是归纳的.(f)存在无限多个互不同构的归纳域,它们不是代数封闭的.也存在无限多个互不同构的无限环,它们是归纳的且不是域.(g)若F为一素数次的实代数数数域,则F不是归纳的.(h)每个奇素数次的代数数域都不是归纳的.然后,我谈了归纳环和域一些可能的应用,例如:任一特征数为0的域F的一阶理论都没有某种量词消去法.(注:我提出归纳环和归纳域的概念,是在1987年在北京举行的"第2次亚洲逻辑会"上.那时美国Cornell大学A.Nerode教授也应邀到会.他认为这是一个新概念,世界上尚无人研究此概念,建议我继续研究.并由他推荐此文的英译文发表在《Annals of Pure and Applied Logic》1989,44(1-2):133-137中.由当时直到现在,尚未见有别人作这方面的研究.另外,我原想用此文中关于实数域的结果给出例如解析几何中一些定理的新证法.后因忙于它事而未进行.读者也可在这方面作些尝试.)
(11)在“关于域上无限方阵的逆方阵”中，我先定义了任一域F上的行有限（列有限，行列有限）无限方阵及它们的行（列）线性相（无）关，行（列）无限线性相（无）关等概念。然后用代数与模型论相结合的方法证明了：(ⅰ)[a]设M为F上列有限的无限方阵，则M具有左逆方阵的充分必要条件是：M的诸列向量在F上线性无关。[b]与[a]对偶的命题。（ⅱ）[c]设M为F上行列有限的无限方阵，则M具有双侧逆方阵的充分必要条件是：M的诸行向量在F上线性无关,并且其诸列向量也在F上线性无关。（ⅲ）[d]设M为F上行有限的无限方阵，则M具有行有限左逆方阵的充分必要条件是：M的诸列向量在F上无限线性无关。[e]与[d]对偶的命题。（ⅳ）设M为F上行列有限的无限方阵，则[f]M具有唯一的双侧逆方阵，并且它是行有限的充分必要条件是：M的诸行向量在F上线性无关，并且其诸列向量在F上无限线性无关。[g]与[f]对偶的命题。[h] M具有唯一的双侧逆方阵，并且它也是行列有限的充分必要条件是：M的诸行向量在F上无限线性无关，并且其诸列向量也在F上无限线性无关。(据我所知,当时在世界上尚无人用此方法研究无限方阵.对以下各有关无限方阵的论文也如此.)
(12)在"H零点定理的推广"中,我在A.Abian工作的基础上用代数与模型论相结合的方法证明了:(ⅰ)设C为复数域,P=C[x1,x2,…]为C上的多项式环,其中x1,x2,…是互不相关的不定元,其个数不超过C的基数.设S是P的一个子集.(A)当S的基数小于C的基数时,下列三条件等价:[a]S在C中有公共零点.[b]S在C的某一扩域F中有公共零点.[c]对S的任一有限子集{p1,p2,p3,…,pk}及P中的任何多项式g1,g2,g3,…gk,都有g1p1+g2p2+…+gkpk不为0.(B)当S的基数等于C的基数时,[b]与[c]仍等价,但有时[b]弱于[a].(ⅱ)设F为任一域,P=[x1,x2,x3,……]为F上的多项式环,其中互不相关不定元的个数任意.设S为P中一组线性多项式.若S的每一有限子集都在F中有解,则S自身在F中有解.
(13）在＂无限方阵的二平方和定理＂中，我用代数与模型论相结合的方法证明了：（ⅰ）设Ｒ为一有双侧单位元的环（对Ｒ不要求乘法结合律与乘法交换律），Ｍ为Ｒ上任一无限方阵．则存在两个特殊形状的无限芳阵Ｓ，Ｔ能使Ｍ等于Ｓ的平方与Ｔ的平方之和．（ⅱ）如果Ｒ上又存在两个无限方阵Ｕ，Ｖ能使Ｍ等于Ｕ的平方与Ｖ的平方之和，则Ｕ＝Ｓ且Ｖ＝Ｔ．（ⅲ）设Ｒ为任一含有非平方元的域，则存在Ｒ上的行列有限的无限方阵Ａ，它不是任何行列有限方阵Ｂ的平方.（ⅳ）设Ｒ，Ｍ，Ｓ，Ｔ如（ⅰ）中所述，则［a］当Ｍ为行有限时，Ｔ或为行有限，或有无限多个行其非零分量个数为无限．［b］当Ｍ为列有限时，Ｓ或为列有限，或有无限多个列其非零分量个数为无限.
(14)在"关于无限方阵的Jordan标准型"中,我先仿照有限方阵的情况定义无限Jordan标准型.又定义了有限方阵与一个Jordan标准型之间"强相似"的概念.然后用代数与模型论相结合的方法证明了:(ⅰ)设F为一域,M为F上一个无限方阵.如果存在一系列正整数n1<n2<n3<…能使M左上角的n1<n2<n3<…阶子方阵都强相似于Jordan标准型,那么:[a]当M为行有限时,存在F上的无限方阵X与一个无限Jordan标准型能使MX=XJ,并且X的一切主子式都非0.[b]与[a]对偶的命题.(ⅱ)设F为一域,M是F上的无限方阵.如果存在一系列正整数n1<n2<n3<…能使M左上角的n1,n2,n3,…阶子方阵都相似于对角方阵,那么:[c]当M为行有限时,存在F上的无限方阵X及一个无限对角方阵D能使MX=XD,并且X的一切主子行列式都等于1.[d]与[c]对偶的命题.
(15)在"关于行列有限方阵的对角化"中,我用代数与模型论相结合的方法证明了:(ⅰ)在任一域F上,设M为一行列有限的无限方阵,对任一正整数n,下列三条件等价: [a]M等价于一个无限的对角方阵D, 在D的对角线上前n个元为1,其它元为0.[b]M有n个行形成一个极大线性无关行组.[c]M有n个列形成一个极大线性无关列组.(ⅱ)在任一域F上,设M为一行列有限的无限矩阵,下列二条件等价:[d]M等价于一个无限对角矩阵,其对交线上第m+i,n+i个元为1(i=1,2,3,…),其它元为0.[e]M有一个无限的极大无限线性无关行组,在它之外只有m个行. 并且M有一个无限的极大无限线性无关列组,在它之外只有n个列.
(16)在"某些无限域上多项式环的三素元性质"中,我在Effinger和Hayes工作的基础上用代数与模型论相结合的方法证明了:(ⅰ)存在无限多个特征数为0的归纳域F能使:F上每个首系数为1且次数d大于1的多项式f(x)都能表示为F上三个首系数为1的不可约多项式p(x),q(x),r(x)之和.其中一个次数为d,另二代数与个次数小于d.(ⅱ)对每个奇素数p,都存在无限多个特征数为p的无限域F能使:F上的多项式环F[x]适合(ⅰ)中所说的三素元性质.(ⅲ)存在无限多个特征数为2的无限域F能使:F[x]中每个次数d大于2且首系数为1的多项式都能表示为三个首系数为1且不可约的多项式之和,其中一个次数为d,另二个次数小于d.(注:这是把Goldbach的三素元猜想推广到一些无限域上多项式环的情况.)
(17)在"Goldbach猜想对于Peano公理组的条件独立性"中,我用数论与模型论相结合的方法证明了:(i)在我们对Peano公理组的通常理解下(Goedel在其著名论文中对Peano公理组有更广义的理解),存在Peano公理组的模型M1,它适合Goldbach猜想.由此可知,由Peano公理组不可能否证Goldbach猜想.(ⅱ)在对Peano公理组的通常理解下,也存在Peano公理组的模型M2,它不适合Goldbach猜想.由此可知,由Peano公理也不可能证明Goldbach猜想.另外,由于我国有一些"民间数学家"宣称他们用初等方法证明了Goldbach猜想(有的在《光明日报》广告版登广告,有的登在自己主编的教育性杂志上,有的发表于本单位的内部刊物中), 所以我又在《数学通报》(2006,(2))发表了"哥德巴赫猜想能用初等方法证明吗"一文,简介上文的结果.说明只用Peano公理组是不可能证明或否证Goldbach猜想的.象Vinogradov,华罗庚,陈景润,王元,潘承洞等研究此问题,都是在Peano公理组之外又加用了数学分析方法(称为"解析数论")才得到各种较弱的答案.
(18)在"完美数与亲和数问题对PA的条件独立性"中,我先用A代表:"存在无限多个如下的完美数:它只有两个真因数.然后用数论与模型论相结合的方法证明了:(i)存在P公理组的模型M1,它不适合A.(ⅱ)存在P公理组的模型M2,它适合A.由(i)可知,由P公理组不可能证明A.由(ⅱ)可知,由P公理组也不可能否证A.[对于不少其它数论中未解决的问题,也可用模型论与数论相结合的方法去研究.]
(19)在"结式定理的一种证法"中,我给出高等代数中结式定理一种新证明.此证明随即被张禾瑞先生写入他与郝鈵新合著的《高等代数》教科书中(未说明是我的证法).后来又被赵慈庚先生收入他所主编的《初等数学研究》一书及我的文集中.
(20)在"正整数方程y2=x3+7能用初等方法求解吗"[见《数学通报》2006年第5期]中,对于数论中已知无正整数解的方程y2=x3+7,我简要地说明了,用数论与模型论相结合的方法可以证明:此方程不可能只用关于自然数的Peano公理组证明或否证.并说,还有一些类似的形状为y2=x3+k的方程也是如此.(注:我曾与叶菁菁同志讨论过有关的问题)
(21)在一篇极短且数学极简单的小文"一些事物的有限性"[见《数学通报》2006年第8期]中,我提出了一个具有历史和哲学意义的观点,就是:由此文进一步作简单思考,就可知道:地球(其它星球也一样)上的一切事物,都将在亿万年后(如果那时地球还存在)重新出现.并且,也在亿万年前(如果那时地球已存在)出现过.
(22)在"杂谈数学及其它"中,[1]我首先谈到目前有不少人学风不正的问题.我列举了《季羡林自传》中季老说的两位德国科学家的事例:著名流体力学家Prandtl,在一次英国飞机轰炸哥廷根之后,他冒险仔细查看校园的一段短墙,看炸弹引起的气流是如何摧毁它的.另一位是慕尼黑的地球物理学教授,在一天夜里,盟军飞机大举轰炸该城.人们都从楼上往楼下防空洞里跑,而他却往楼顶快跑,认为这是难得的观查气流的机会.但在我国今天,随着老一辈知识分子相继离去,以及受一些社会不良风气的影响,出现了浮夸,急功近利,甚至剽窃等现象.[2]然后我谈到贡献与代价.列举了陈景润等人的感人事例.[3]我又谈到数学与信息时代,为什么数学中要重视逻辑.[4]最后,我谈到数学基础研究与人们认识的深化.我列举了(a)用数理逻辑方法解决了"连续统假设".(b)"泛函分析"中Baire定理可以因所用的集合论公理不同而可真可假.还有"可换群论"中的Whitehead问题,"Banach代数"中的Kaplansky问题,"拓扑流形"中的Alexandroff问题等,也都有与Baire定理类似的情况.
